Une formule pour les D(-1)-quadruplets
Problèmes ouverts — A. Dujella · 2026 · ★★★★★
Énoncé
Problème 1.3 (Dujella, 2026). Soit $\{a,b,c\}$ un $D(-1)$-triplet et $d$ un entier positif tel que $ad+1$, $bd+1$ et $cd+1$ soient des carrés parfaits. Tous ces quadruplets vérifient-ils la formule \[ (d+a+b-c)^2 = 4(ab-1)(cd+1)\ ? \]
Remarque. Fujita (Acta Arith. 128 (2007), 349–375 ; Rocky Mountain J. Math. 39 (2009), 1907–1932) et He et Togbé (J. Number Theory 131 (2011), 120–137) ont obtenu une réponse positive pour les $D(-1)$-triplets de la forme $\{1,2,c\}$, $\{F_{2k+1}, F_{2k+3}, F_{2k+5}\}$ et $\{1, k^2+1, k^2+2k+2\}$, respectivement.
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Source & crédits
Origine : Andrej Dujella, Open problems on Diophantine m-tuples and elliptic curves (26 juillet 2026), Problème 1.3
Reproduit à des fins pédagogiques non commerciales, avec attribution à l'auteur. Problème de recherche ouvert : aucune solution connue à ce jour.
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